最近区块链上DeFi很火，我就去了解一下，和以前玩法有什么不一样。看下来发现除了以前就有的借贷和交易所，还有四个比较有趣的东西是以前没有的。
- 自动做市商（Uniswap）
- 智能合约理财 （yearn)
- 闪电贷 (Aave)
- 有抵押稳定币 (MakerDao)
自动做市商和闪电贷这两个技术让我惊叹。今天先介绍一下自动做市商的机制。
传统的交易所会维护一个订单簿，记录了所有买的价格和卖的价格。交易所会撮合同一价格的买卖双方成交。我之前在eos上写过一个这样的交易所。但是撮合的逻辑非常重，经常在撮合大单的时候跑完cpu。本来打算写第二个版本，把撮合交给别人来做，并且支付手续费作为奖励（如果做成了现在就是撮合挖矿了。。。）。结果eos价格一落千丈我也没有信心继续完成这个版本。
而自动做市商没有订单簿，取而代之的是一个包含交易对双方币种的资金池，这两个币种的总价值是1：1。比如总价值1000美元的ETH-DAI交易对的资金池中有1个ETH和500个DAI（DAI是一种等价美元的稳定币，1 usd = 1 dai）。这时候就可以得出一个ETH的价格就是500美元。任何时候我们都可以向资金池中以1：1的价值放入两种代币，而我们就会一定比例的占有这个资金池，合约会给我们LP token作为拥有部分资金池的证明。当交易发生的时候，合约会收取一定的手续费，存入资金池。资金池的价值就会升高，我们拥有的价值也会升高。
当我想要进行交易的时候合约又是如何判断价格的呢？Uniswap用了一种开创式的算法：设资金池中有Y个ETH，X个DAI。合约保证 $XY$ 在交易前后不变（称为恒定乘积公式）。也就是当我们需要用x个DAI购买ETH的时候，合约会给我们y个ETH使得
\[XY = (X + x)(Y - y)\]为什么是乘积保持不变，而不是某种类似 $X/Y$ 之类的公式来代表价格？这就要从价格说起。
在Uniswap中价格是由资金池中两种货币的数量比例决定的。我们定义边际价格为：用1个DAI能换到的ETH数量，即 $Y/X$（或者反过来说，1个ETH值 $X/Y$ 个DAI）。当交易发生的时候，必定会导致比例变化并且造成价格变动。交易需要一个价格，而价格又被交易改变。我们可以用一个微分方程来表示一笔交易：
假设我们用x个DAI能够购买ETH的数量为 $y(x)$，资金池初始状态有Y个ETH和X个DAI。
首先考虑极小量交易：当 $dx$ 趋向于无穷小的时候，可以假定这笔极小交易不会显著改变资金池的比例，因此成交价格就是当前的边际价格。在还没有进行任何交易时（$x=0$），用 $dx$ 个DAI可以换到 $dy = \frac{Y}{X} dx$ 个ETH，即：
\[\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=0} = \frac{Y}{X}\]更一般地，当已经交易了x个DAI（获得了 $y(x)$ 个ETH）之后，资金池中剩余 $X + x$ 个DAI和 $Y - y(x)$ 个ETH。此时的边际价格变为 $\frac{Y - y(x)}{X + x}$，因此：
\[\frac{dy}{dx} = \frac{Y - y(x)}{X + x}\] \[\Rightarrow dy = \frac{(Y - y(x)) \cdot dx}{X + x}\]这是一个关于 $y(x)$ 的一阶线性微分方程，初始条件为 $y(0) = 0$（没有花费DAI时，获得的ETH为0）。
求解过程：将方程改写为标准形式：
\[\frac{dy}{dx} + \frac{y}{X + x} = \frac{Y}{X + x}\]这是一阶线性微分方程 $y’ + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = \frac{1}{X+x}$，$Q(x) = \frac{Y}{X+x}$。
积分因子为 $\mu(x) = e^{\int \frac{1}{X+x}dx} = X + x$
两边乘以积分因子：$(X+x)y’ + y = Y$
即：$\frac{d}{dx}[(X+x)y] = Y$
积分得：$(X+x)y = Yx + C$
由初始条件 $y(0) = 0$，代入得 $C = 0$，因此：
\[y(x) = \frac{xY}{X + x}\]验证这个解满足恒定乘积公式：
\[\Rightarrow XY = (X + x)(Y - y(x))\]这个简单的规则完美的计算出了价格。
无常损失分析
资金池中的价值并不是一直不变的，它会随着币价的变化而变化。这里我们仅考虑一边为稳定币的情况。如果我们持有ETH-DAI的LP Token，当ETH价格变动时，LP Token的价值变动幅度是单纯持有ETH价值变动幅度的平方根。这种现象称为无常损失（Impermanent Loss）。（当然手续费收入会部分补偿这个损失）
为了公平比较，我们假设三种策略的初始投资金额相同，都是价值 $2X$ DAI的资产。
假设资金池初始状态有Y个ETH，X个DAI。当前的ETH价格为 $X/Y$ DAI/ETH（即1个ETH值 $X/Y$ 个DAI）。
现在假设外部市场ETH价格发生变化。套利者会通过交易使资金池价格与外部市场一致。设价格变化后，资金池中DAI数量变为 $aX$，ETH数量变为 $Y/a$（其中 $a > 0$）。可以验证恒定乘积不变：$aX \cdot \frac{Y}{a} = XY = k$。
此时新的ETH价格为 $\frac{aX}{Y/a} = \frac{a^2X}{Y}$ DAI/ETH，即价格变为原来的 $a^2$ 倍。
我们分别对比三种策略在价格变动前后的价值（以DAI计价）：
| 全部持有DAI | 全部持有ETH | 资金池（LP Token） | |
|---|---|---|---|
| 初始持仓 | $2X$ DAI | $2Y$ ETH | $X$ DAI + $Y$ ETH |
| 初始价值 | $2X$ DAI | $2Y \cdot \frac{X}{Y} = 2X$ DAI | $X + Y \cdot \frac{X}{Y} = 2X$ DAI |
| 价格变动后持仓 | $2X$ DAI | $2Y$ ETH | $aX$ DAI + $\frac{Y}{a}$ ETH |
| 价格变动后价值 | $2X$ DAI | $2Y \cdot \frac{a^2X}{Y} = 2a^2X$ DAI | $aX + \frac{Y}{a} \cdot \frac{a^2X}{Y} = 2aX$ DAI |
| 价值变化倍数 | $1$ | $a^2$ | $a$ |
结论：当ETH价格变为原来的 $a^2$ 倍时：
- 持有DAI：价值不变（倍数为1）
- 持有ETH：价值变为 $a^2$ 倍
- 持有LP Token：价值变为 $a$ 倍（即 $\sqrt{a^2} = a$）
提供流动性也需要承担一定的ETH价格变动的风险，但价值波动幅度是单纯持有ETH的平方根。例如，如果ETH价格翻4倍（$a^2=4, a=2$），持有ETH的人资产翻4倍，而LP持有者资产只翻2倍。反过来，如果ETH价格跌到1/4（$a^2=1/4, a=1/2$），持有ETH的人资产缩水到1/4，而LP持有者资产缩水到1/2。这就是自动做市商的巧妙设计。